TEORIA DE CONJUNTOS

       CONJUNTOS

        NOCIÓN

Entenderemos como conjunto a la reunión, agrupación, agregado, clase, colección o familia de integrantes homogéneos o heterogéneos con posibilidades reales o abstractas, que reciben el nombre de elemento del conjunto.

        DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

A.   Extensión o forma tabular

Se enuncia todos los elementos válidos para conjuntos con escasa cantidad de elementos o para aquellos que siendo excesivamente numerosos (o hasta infinitos) poseen una cierta ley de formación la cual resulta evidente.

B.   Comprensión o forma constructiva

Se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que le es valida únicamente a estos.

Ejemplos:

A.    Determinar el conjunto de las cinco vocales

B.     Determinar el conjunto de los números impares (+) menores que 16.

Por extensión:

  A = {a, e, i, o, u}

B ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,15}

Por comprensión:

  A = {x/x es una vocal}

     B={x/x es un número impar<16}

        RELACIÓN DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece (Î) a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto.  Un elemento no pertenece (Ï) a un conjunto si no cumple con la condición anotada.

La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto, más no vincula elementos o conjuntos entre sí.

Ejm:

            P = {a, b, c, … , x, y, z}

            b Î P                 a Ï P

            m Î P                1 Ï P

5 Ï P

        RELACIÓN DE INCLUSIÓN

Se dice que A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento “A” pertenece a “B” la inclusión se simboliza por:

A Ì B « x Î A ® x Î B

También puede decirse que A es parte de, es contenido en, es subconjunto de conjunto B.  Se puede denotar también  por B É A que se lee “A” incluye, contiene o es superconjunto del conjunto A.

Ejm:

            M = {Tener}

            N = {Perros}

            P  = {Mamíferos}

Entonces:  M Ì N Ì P ® N Ì P

 

       CONJUNTO NULO O VACÍO

Un conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío, también se le llama conjunto nulo.

Se le denota comúnmente por: Æ ó { }.

Convencionalmente el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto.

       CONJUNTO UNITARIO

Es el conjunto que consta de un solo elemento,  al conjunto unitario también se le llama SINGLETON.

       CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto de referencia para el marco de una situación particular, es posible elegirlo de acuerdo a lo que se trata.

       CONJUNTO DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes, también se les llama conjuntos excluyentes.

       CONJUNTO POTENCIA

Se llama así al que está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado.  Dado un conjunto “A” cuyo número de elementos (cardinal) es n(A), el cardinal de su conjunto potencia P(A) será aquella potencia de 2 cuyo exponente es n(A)

n[P(A)] = 2^n(A)

       SUBCONJUNTO PROPIO

Es aquel  que siendo subconjunto de un conjunto dado no es igual a este.  Para un conjunto a de cardinal n(A) tenemos:

#de subconjuntos propios de A=2^n(A) - 1

 

 APLICACIONES PRACTICAS

  

1.      Colocar el valor de verdad a cada proposición si:

A = {2; 3; {1}; {2, 1}}

ª  Æ Î A   

ª 3  Î A

ª  1 Î A

ª  {1} Î A

ª  {3}

 Ì A

ª  Æ Ì A

a) FVFFVV  b) FFVVFF         c) FFFVVV

d) FVFVFV             e) VVFVFV

2.     ¿Cuántos subconjuntos tiene

A = {1, {1}, 1, Æ}?

a) 16                      b) 15                 c) 8

d) 4                       e) 32

3.     ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto?

A = {x²/x  Î Z; -9 < 2x – 1 < 11}

a) 10                      b) 12                 c) 15

d) 18                      e) 23

4.     Calcular la suma de los elementos del conjunto A.

A = {x/x Î N; 10 < 3x + 2 < 18}

a) 10                      b) 12                 c) 15

d) 18                      e) 23

5.     Colocar el valor de verdad a cada proposición si:

A = {8; 3; {2}; {1, 3}}

ª 3 Î A     (      ) ª 8 Ï A    (      )

ª 2 Î A     (      )ª 3 Î {1, 3} (      )

ª {3} Ï A (      )ª 4 Ï A        (      )

6.     Si el conjunto A tiene 2 elementos.  ¿Cuántos subconjunto propios tendrá P(A)?

a) 3                       b) 7                  c) 8

d) 31                      e) 15

7.     Determine por extensión el conjunto:

A = {x-1/ x Î N, 4 x < 9}

a) {0, 1}                  b) {0, 1, 2}          c) {-1, 0}

d) {-1, 0, 1}              e) {0,2}

8.     Dado el conjunto:

B = {x+3/x Î Z, x² < 9}

Calcule la suma de los elementos del conjunto “B”

a) 12                      b) 15                 c) 3

d) 9                       e) 18

9.     Sabiendo que el conjunto:

A = {a + b; a + 2b – 2; 10}

es un conjunto unitario

Dar el valor de a² + b².

a) 16                      b) 80                c) 68

d) 58                     e) 52

10.    ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:

A = {x/x Î Z; -7 < 4x + 1 < 21}

a) 64                     b) 63                c) 16

d) 15                      e) 31

11.   Sabiendo que los conjuntos:

A = {4a + 3b; 23}

B = {3a + 7b; 41}

son unitarios.

Hallar:  a + b

a) 2                       b) 4                  c) 5

d) 7                       e) 9

12.   Si el siguiente conjunto es unitario:

A = {a + b; b + c; a + c; 6}

Calcular:  a x b x c

a) 3                       b) 6                  c) 9

d) 18                      e) 27

13.   Determinar por extensión el siguiente conjunto:

A = {x² – 3x + 2/ 1 £ x < 3 Ù  Î N}

a) { }                      b) {0}                c) {1}

d) {2}                     e) {0, 1}

14.   Dados:       A = {a² + 9; b + 2}

B = {-9; 10}

Si se sabe que A = B.  Calcular a – b

a) 9                       b) 12                 c) -10

d) -9                     e) -12

15.      Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario.

M = {a^a + b; 2^a + b; 9}

Hallar:  a . b

a) 8                       b) 4                  c) 6

d) 10                      e) 12

16.      Sean los conjuntos iguales:

A = {a³ + 2; 20}

B = {29; b⁵ – 4a}

Hallar:  a² + b²

a) 10                      b) 12                 c) 13

d) 18                      e) 20

17.      Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}}

I.     n(M) = 5         IV.  {2, {5}} ÌM

II.   {3} Î M           V.    {8; 10} Î M

III. {{5}} Ì M

a) FFFVV                b) VFVFV          c) VFVVF

d) FFVVF               e) FFVVV

18.      Dado el conjunto: A = {Æ; 5; 4; {4}}

¿Qué proposiciones son falsas?

I.     Æ Î A                        IV.  Æ Ì A

II.   {4} Î A                       V.    {5} Î A

III. {5, 4} Ì A

a) Solo IV   b) Solo II          c)Solo V

d) Solo IV y V         e) N.A.

19.      Calcular la suma de los elementos del conjunto B.

B = {x²/ x Î Z, -5 < x < 3}

a) 40                     b) 30                c) 35

d) 32                     e) 25

20.      Sean los conjuntos iguales:

A = {a² + 1; 12}

B = {a – b; 17}

¿Cuál puede ser el valor de a + b?

a) -12                     b) -20               c) 12

d) 4                       e) 10