CONJUNTOS
NOCIÓN
Entenderemos como conjunto a la reunión, agrupación, agregado,
clase, colección o familia de integrantes homogéneos o heterogéneos con
posibilidades reales o abstractas, que reciben el nombre de elemento del
conjunto.
DETERMINACIÓN
DE UN CONJUNTO
A. Extensión o forma
tabular
Se enuncia todos los elementos válidos para conjuntos con escasa
cantidad de elementos o para aquellos que siendo excesivamente numerosos (o
hasta infinitos) poseen una cierta ley de formación la cual resulta evidente.
B. Comprensión o forma
constructiva
Se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad
común a ellos y que le es valida únicamente a estos.
Ejemplos:
A.
Determinar el conjunto de las
cinco vocales
B.
Determinar el conjunto de los
números impares (+) menores que 16.
Por extensión:
A = {a, e, i, o, u}
B ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,15}
Por comprensión:
A = {x/x es una vocal}
B={x/x es un
número impar<16}
RELACIÓN DE
PERTENENCIA
Un elemento pertenece (Î) a un
conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto. Un elemento no pertenece (Ï) a un conjunto si no cumple con la condición anotada.
La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto,
más no vincula elementos o conjuntos entre sí.
Ejm:
P = {a, b, c, … ,
x, y, z}
b Î P a Ï P
m Î P 1 Ï P
5 Ï P
RELACIÓN DE
INCLUSIÓN
Se dice que A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento
“A” pertenece a “B” la inclusión se simboliza por:
A Ì B « x Î A ® x Î B
También puede decirse que A es parte de, es contenido en, es
subconjunto de conjunto B. Se puede
denotar también por B É A que se lee “A” incluye, contiene o es superconjunto del
conjunto A.
Ejm:
M = {Tener}
N = {Perros}
P = {Mamíferos}
Entonces: M Ì N Ì P ® N Ì P
CONJUNTO
NULO O VACÍO
Un conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío,
también se le llama conjunto nulo.
Se le denota comúnmente por: Æ ó { }.
Convencionalmente
el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto.
CONJUNTO
UNITARIO
Es el conjunto que consta de un solo elemento, al conjunto unitario también se le llama
SINGLETON.
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto de
referencia para el marco de una situación particular, es posible elegirlo de
acuerdo a lo que se trata.
CONJUNTO
DISJUNTOS
Dos conjuntos son
disjuntos cuando no tienen elementos comunes, también se les llama conjuntos
excluyentes.
CONJUNTO
POTENCIA
Se llama así al que está formado por todos los subconjuntos de un
conjunto dado. Dado un conjunto “A” cuyo
número de elementos (cardinal) es n(A), el cardinal de su conjunto potencia
P(A) será aquella potencia de 2 cuyo exponente es n(A)
n[P(A)] = 2n(A)
SUBCONJUNTO
PROPIO
Es aquel que siendo
subconjunto de un conjunto dado no es igual a este. Para un conjunto a de cardinal n(A) tenemos:
#de subconjuntos propios de A=2n(A)
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APLICACIONES PRACTICAS
1.
Colocar el valor de verdad a
cada proposición si:
A = {2; 3; {1}; {2, 1}}
ª Æ Î A
ª 3 Î A
ª 1 Î A
ª {1} Î A
ª {3}
Ì A
ª Æ Ì A
a) FVFFVV b) FFVVFF c) FFFVVV
d) FVFVFV e) VVFVFV
2. ¿Cuántos subconjuntos tiene
A = {1, {1}, 1, Æ}?
a) 16 b) 15 c) 8
d) 4 e) 32
3. ¿Cuántos subconjuntos tiene el
siguiente conjunto?
A = {x2/x Î Z; -9 < 2x – 1 < 11}
a) 10 b) 12 c)
15
d) 18 e) 23
4. Calcular la suma de los elementos
del conjunto A.
A = {x/x Î N; 10 < 3x + 2 < 18}
a) 10 b) 12 c)
15
d) 18 e) 23
5. Colocar el valor de verdad a cada
proposición si:
A = {8; 3;
{2}; {1, 3}}
ª 3 Î A ( ) ª 8 Ï A ( )
ª 2 Î A ( )ª 3 Î {1, 3} ( )
ª {3} Ï A ( )ª 4 Ï A ( )
6. Si el conjunto A tiene 2
elementos. ¿Cuántos subconjunto propios
tendrá P(A)?
a) 3 b)
7 c) 8
d) 31 e) 15
7. Determine por extensión el conjunto:
A = {x-1/ x Î N, 4 x < 9}
a) {0, 1} b) {0, 1, 2} c)
{-1, 0}
d) {-1, 0, 1} e) {0,2}
8. Dado el conjunto:
B = {x+3/x Î Z, x2 < 9}
Calcule la suma de los elementos del
conjunto “B”
a) 12 b) 15 c)
3
d) 9 e)
18
9. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b;
a + 2b – 2; 10}
es un conjunto unitario
Dar el valor de a2 + b2.
a) 16 b) 80 c)
68
d) 58 e) 52
10. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:
A = {x/x Î Z; -7 < 4x + 1 < 21}
a) 64 b) 63 c)
16
d) 15 e) 31
11. Sabiendo que los conjuntos:
A = {4a + 3b; 23}
B = {3a + 7b; 41}
son unitarios.
Hallar: a + b
a) 2 b)
4 c) 5
d) 7 e)
9
12. Si el siguiente conjunto es
unitario:
A = {a + b;
b + c; a + c; 6}
Calcular: a x b x c
a) 3 b)
6 c) 9
d) 18 e) 27
13. Determinar por extensión el
siguiente conjunto:
A = {x2 – 3x + 2/ 1 £ x < 3 Ù 
Î N}
Î N}
a) { } b) {0} c)
{1}
d) {2} e) {0, 1}
14. Dados: A = {a2 + 9; b + 2}
B = {-9; 10}
Si se sabe que A = B.
Calcular a – b
a) 9 b)
12 c) -10
d) -9 e)
-12
15.
Sabiendo que el siguiente
conjunto es unitario.
M = {aa + b; 2a + b; 9}
Hallar: a . b
a) 8 b)
4 c) 6
d) 10 e)
12
16.
Sean los conjuntos iguales:
A = {a3 + 2; 20}
B = {29; b5 – 4a}
Hallar: a2 + b2
a) 10 b)
12 c) 13
d) 18 e)
20
17.
Indicar verdadero (V) o falso
(F) según corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}}
I. n(M) = 5 IV.
{2, {5}} ÌM
II. {3} Î M V. {8; 10} Î M
III. {{5}} Ì M
a) FFFVV b)
VFVFV c) VFVVF
d) FFVVF e)
FFVVV
18. Dado el conjunto: A = {Æ; 5; 4; {4}}
¿Qué proposiciones son falsas?
I. Æ Î A IV. Æ Ì A
II. {4}
Î A V. {5} Î A
III. {5, 4} Ì A
a) Solo IV b)
Solo II c)Solo V
d) Solo IV y V e)
N.A.
19. Calcular la suma de los elementos
del conjunto B.
B = {x2/ x Î Z, -5 < x < 3}
a) 40 b)
30 c) 35
d) 32 e)
25
20. Sean los conjuntos iguales:
A = {a2 + 1; 12}
B = {a – b; 17}
¿Cuál puede ser el valor de a + b?
a) -12 b)
-20 c) 12
d) 4 e)
10
